Закон квадрата — куба

Закон квадрата — куба представляет собой принцип, применяемый в технике и биомеханике, и базируется на математическом пересчёте размеров. Он был впервые продемонстрирован в 1638 г. Галилео Галилеем в Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze («Беседы и математические доказательства двух новых наук»), 1638. Он гласит:

Когда объект подвергается пропорциональному увеличению размеров, его новый объём будет пропорционален кубу множителя, а новая площадь его поверхности пропорциональна квадрату множителя.

${\displaystyle v_{2}=v_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{3}}$

где ${\displaystyle v_{1}}$ — объём исходного объекта, ${\displaystyle v_{2}}$ — новый объём, ${\displaystyle \ell _{1}}$- линейный размер исходного объекта, а ${\displaystyle \ell _{2}}$ — новый линейный размер. Заметьте, что не имеет значения, какой линейный размер используется.

${\displaystyle A_{2}=A_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{2}}$

где ${\displaystyle A_{1}}$ — площадь поверхности исходного объекта, а ${\displaystyle A_{2}}$ — новая площадь поверхности.

Например, куб с длиной стороны 1 метр имеет площадь поверхности 6 м² и объём 1 м³. Если длину стороны удвоить, площадь его поверхности увеличится в четыре раза — до 24 м², а его объём увеличится в 8 раз — до 8 м³. Этот принцип применим ко всем телам.

Техника

Если физический объект увеличить в размерах при сохранении неизменной плотности материала, из которого он изготовлен, его масса увеличится пропорционально коэффициенту увеличения в третьей степени, в то время как площадь его поверхности — квадрату масштабного множителя. Это должно означать, что в том случае, если сегменту поверхности увеличенного в размерах объекта сообщить то же ускорение, что и оригиналу, на поверхность увеличившегося объекта будет действовать большее давление

Давайте рассмотрим простой пример — тело массой ${\displaystyle m}$ имеет ускорение ${\displaystyle a}$ и площадь поверхности ${\displaystyle S}$, на которую действует ускоряющая сила.

Сила, вызванная ускорением: ${\displaystyle F=ma}$, а давление на поверхность ${\displaystyle T={\frac {F}{S}}={\frac {ma}{S}}}$

Теперь рассмотрим объект, размеры которого умножены на коэффициент ${\displaystyle x}$ так, чтобы его новая масса ${\displaystyle m'=x^{3}\cdot m}$, а поверхность, на которую действует сила, имеет новую площадь, ${\displaystyle S'=x^{2}\cdot S}$.

Новая сила, вызванная ускорением ${\displaystyle F'=x^{3}\cdot ma}$ и результирующее давление на поверхность

${\displaystyle {\begin{aligned}T'&={\frac {F'}{S'}}\\&={\frac {x^{3}\cdot ma}{x^{2}\cdot S}}\\&=x{\frac {ma}{S}}\\&=x\cdot T\end{aligned}}}$

Таким образом, при простом увеличении размеров объекта с сохранением того же самого материала конструкции (плотности), и при том же самом ускорении, давление, производимое им на поверхность, увеличится во столько же раз. Это показывает, что способность сопротивляться напряжению у объекта снизится и он станет более склонен к разрушению в процессе ускорения.

Это и есть объяснение тому, почему большие транспортные средства плохо выдерживают испытания на разрушения при столкновениях, и почему есть пределы высоты строительства высотных зданий. Аналогично, чем больше размер объекта, тем меньше другие объекты окажут сопротивление движению, вызывая его замедление.

Биомеханика

Если размеры животного значительно увеличить, его мускульная сила серьёзно уменьшится, так как поперечное сечение его мускулов увеличится пропорционально квадрату коэффициента масштабирования, в то время как его масса увеличится пропорционально кубу коэффициента масштабирования. В результате этого сердечно-сосудистые функции сильно ограничатся. Для летающих живых существ, если их увеличить в размерах, их нагрузка на крылья должна возрасти, и поэтому им, чтобы сохранять ту же подъемную силу, придется лететь быстрее. Это будет нелегко ввиду того, что сила мускулов станет меньше. Это также объясняет, почему шмель может иметь большой размер тела относительно размаха его крыльев, что невозможно для большего летающего животного. Для живых существ малых размеров сопротивление воздуха на единицу массы также выше, что объясняет, отчего маленькое насекомое, такое, как муравей, не погибнет, падая с любой высоты.

Кроме того, работа дыхательной системы насекомых зависит от величины поверхности тела. При увеличении объёма тела площадь его поверхности не сможет обеспечивать дыхание.

По этим причинам гигантские насекомые, пауки и другие животные, показываемые в фильмах ужасов, нереальны, поскольку такие крупные размеры вызвали бы их удушье и разрушение. Исключением являются гигантские водные животные (глубоководный гигантизм), поскольку вода способна поддерживать такие огромные существа.

Тепловые процессы

Закон квадрата — куба применим также и к тепловым процессам. Поверхность теплообмена возрастает пропорционально квадрату размера, а объём, содержащий или генерирующий теплоту — пропорционально кубу. Следовательно, теплопотери в расчёте на единицу объёма объекта уменьшаются при увеличении его размеров и, наоборот, увеличиваются при уменьшении размеров. Поэтому, например, энергия, необходимая для обогрева или охлаждения единицы объёма склада, уменьшается с ростом размеров склада.

В технике

Закон имеет широкое применение в технике. К примеру, он является единственной причиной того, что для создания самолётов вдвое большей грузоподъёмности было бессмысленно (и никогда не применялось) удвоение всех размеров на всех чертежах самолёта — запрет на прямое масштабирование наложен законом квадрата — куба.

Электрические машины

Допуская, что при масштабировании электрической машины сохраняются плотность тока, магнитная индукция и частота вращения, легко определить, что при изменении всех размеров в a раз ток станет больше в a² раз (пропорционально площади поперечного сечения проводников). Магнитный поток также возрастёт в a² раз (пропорционально площади поперечного сечения магнитопровода), благодаря чему наводимая в обмотках э. д. с. также возрастёт в a² раз.

То есть и ток, и напряжение вырастут в a² раз, благодаря чему электрическая мощность (равная произведению тока на напряжение) вырастет в a⁴ раз. При этом тепловые потери вырастут только в a³ раз (пропорционально объёму проводников при неизменной плотности тока).

Таким образом, при увеличении размеров электрической машины пропорционально увеличивается её удельная мощность (на единицу массы) и уменьшаются удельные потери (то есть увеличивается к. п. д.). В то же время усложняется теплоотвод, поскольку пропорционально растёт и удельный тепловой поток через все поверхности.

Всё вышесказанное справедливо и для трансформаторов (при неизменной частоте тока).

Двигатели внутреннего сгорания

Если просто увеличить все размеры двигателя внутреннего сгорания в a раз при неизменной частоте вращения, то окажется, что масса движущихся частей увеличится в a³ раз, плюс ускорение, с которым они движутся, увеличится в a раз. То есть все силы инерции увеличатся в a⁴ раз, а поскольку площадь трущихся поверхностей увеличится только в a² раз, удельная нагрузка на них увеличится в a² раз, что приведёт к их быстрому износу. Кроме того, в a раз увеличится скорость движения газов через клапаны, что значительно увеличит газодинамическое сопротивление и ухудшит наполнение цилиндров.

Поэтому при масштабировании ДВС приходится пропорционально уменьшать частоту вращения (сохраняя неизменной среднюю скорость поршня). Тогда остаются неизменными удельная нагрузка на трущиеся поверхности и скорость движения газов через клапаны. Однако удельная мощность (на единицу массы) и литровая мощность при этом пропорционально уменьшаются. Бороться с таким утяжелением двигателя можно путём увеличения числа цилиндров, что, однако, усложняет его конструкцию.

Судостроение

В первом приближении можно считать, что сопротивление движению судна (при неизменной скорости) пропорционально площади поперечного сечения корпуса на миделе. Таким образом, при увеличении всех размеров судна в a раз его масса вырастет в a³ раз, а сопротивление движению только в a² раз. Следовательно, более крупные суда экономичнее в плане расхода топлива на единицу массы. Кроме того, если доля запасов топлива в общей массе судна неизменна, то дальность плавания без дозаправки также увеличится в a раз.

По той же причине топливная экономичность и дальность полёта дирижаблей растут пропорционально их размерам (в отличие от самолётов, у которых эти параметры определяются в основном их аэродинамическим качеством).

Для парусного судна важна устойчивость к опрокидывающему моменту, создаваемому парусами. При увеличении всех размеров судна в a раз площадь парусов увеличится в a² раз, а создаваемый ими опрокидывающий момент силы в a³ раз (поскольку ещё и плечо силы увеличится в a раз). В то же время выравнивающий крен момент, создаваемый корпусом при крене, увеличится в a⁴ раз (масса корпуса и вытесненной воды вырастет в a³ раз, при этом плечо силы увеличится в a раз). Следовательно, при простом геометрическом масштабировании крупные парусные суда более остойчивы к крену, создаваемому моментом парусов. По этой причине большие парусники не нуждаются в развитых балластных килях, типичных для малых парусных яхт. С другой стороны, при одинаковой конструкции на более крупном судне можно поставить паруса непропорционально большей площади и, соответственно, получить увеличение скорости.

См. также

• Биомеханика
• Аллометрия
• Вычислительная сложность